16 de diciembre de 2011
4 de diciembre de 2011
7 de noviembre de 2011
Cuaterniones de Hamilton: Origen y utilidad en videojuegos
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| La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) |
Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la formaa + bi + cj + dk , donde las unidades imaginarias cumplen que i2 = j2 = k2 = ijk= –1.
Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter Guthrie Tait (1831–1901), profesor de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) quien pasó más de 38 años discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo vectorial, que a finales del siglo 19 eclipsó a los Cuaterniones. Los matemáticos del siglo 20, en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones. Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales.
En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además en gráficos por ordenador. Al final del siglo 20, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine (más de 100 mil millones de dólares en 2010).Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas
31 de octubre de 2011
23 de octubre de 2011
15 de agosto de 2011
17 de junio de 2011
13 de junio de 2011
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18 de mayo de 2011
17 de mayo de 2011
La inteligencia de las masas
Matemáticas contra las avalanchas humanas
By jesus - Posted on 19 April 2010
¿Alguna vez se ha tropezado con otro viandante y después se han desviado ambos hacia el mismo lado... Y, ¡ups! otra vez de nuevo los dos al lado contrario? Ya saben: ¡Perdón! ¡Perdón! Y una media sonrisa de disculpa. Pues algo tan anecdótico y aparentemente poco importante está en la base de lo que estudia un grupo de matemáticos y sociólogos del Instituto Tecnológico Suizo, en Zurich, el prestigioso ETH. Pero ellos no se quedan en la anécdota. Al contrario, su trabajo puede acabar siendo muy útil para prevenir desgracias, por ejemplo a la hora de evitar accidentes por aplastamiento en aglomeraciones en estadios, manifestaciones... El grupo de Zurich, liderado por Mehdi Moussaid, ha investigado las peregrinaciones a la Meca, en las que periódicamente se producen decenas de muertos por 'estampidas' o avalanchas humanas.
El punto de partida de estos investigadores es que cuando interaccionan muchos 'agentes individuales', en este caso personas, cada uno se comporta según lo hagan los demás. Y eso genera un comportamiento colectivo determinado, que se puede modelizar. Es un fenómeno que se da en el tráfico por carretera, por supuesto en la economía... y cuando se congrega mucha gente. En los últimos años ha avanzado mucho la rama de las matemáticas que trata de modelizar estos fenómenos.
En el caso del grupo suizo, los investigadores experimentaron primero con individuos en condiciones de laboratorio: dos voluntarios evitan chocarse en un pasillo; ¿hacia qué lado se desvían? Después los matemáticos salieron a la calle y se dedicaron a grabar el flujo de viandantes. Así han descubierto que, en general, todo el mundo tiende a desviarse hacia el mismo lado, y eso hace que en la multitud se generen de forma espontánea 'corrientes' de viandantes que avanzan en el mismo sentido. Esto ha permitido diseñar un modelo matemático que describe los flujos urbanos.
Moussaid explicó hace unos días en la reunión anual de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia en San Diego, en EEUU, que, curiosamente, el lado hacia el que solemos desviarnos parece determinado culturalmente: los europeos lo hacemos hacia la derecha y los asiáticos más bien hacia la izquierda.
Esto podría ser sólo una curiosidad si no fuera porque el comportamiento colectivo puede dar problemas, como las mencionadas 'estampidas'. El trabajo del grupo de Zurich con los peregrinos a la Meca aún no ha acabado, pero el objetivo es identificar patrones en el movimiento de la multitud que precedan a estos fenómenos, para así tratar de detectarlos con antelación y evitarlos.
La Sabiduría de los Grupos: Por qué los muchos son más inteligentes que los pocos y cómo la sabiduría colectiva da forma a los negocios, economía, sociedades y naciones, publicado por primera vez en 2004, es un libro escrito por James Surowiecki sobre la combinación de la información en grupos, que termina en decisiones que, argumenta él, son a menudo mejores que las que podrían haber sido tomadas por un solo miembro del grupo. El libro presenta numerosos casos estudiados y anécdotas para ilustrar su argumento, y recorre varios campos del saber, principalmente economía y psicología.
La anécdota inicial cuenta que en 1906 Sir Francis Galton (reconocido científico inglés de finales del siglo XIX) visitó una feria de pueblo en la que encontró un concurso que llamó su atención.
El concurso consistía en que los participantes (en su mayoría carniceros, ganaderos y pueblerinos) tendrían que escribir en un papel el peso que calculaban tenía un buey expuesto en la feria. Al termino del concurso el buey sería sacrificado, pesado y descuartizado para así entregarle al más acertado los restos del mismo.
Lo sorprendente es que de los 800 participantes de este concurso ninguno acertó el peso exacto de 544 kilos y 500 gramos, es más, el más cercano estuvo lejos por más de 10 kilos. La lógica diría que de entre tantos participantes alguno tendría que por lo menos acercase por un par de kilos ¿no?
Extrañado por el hecho, Sir Francis (que en español sería Don Francisco) le pidió al organizador del concurso si podía quedarse con los papeles donde habían escrito los participantes sus cálculos.
Ya en la lejanía de la feria y en la comodidad de su casa, comenzó a hacer números. Si bien, ningún participante acertó o si quiera se acerco al dato real, el promedio de todos los concursantes fue de: 544 kilos. ¿Cómo es posible que el promedio de 800 participantes estuviera a tan sólo 500 gramos de la respuesta, mientras que el individuo más cercano fallara por 10 kilos?
- La inteligencia de las masas es más certera que la de los individuos -
Nunca una anécdota de 1906 fue tan actual; wikipedia, stumbleupon, delicious, digg, google, yelp, basan su inteligencia en este modelo. Las masas generan la inteligencia, no los individuos. Es la comunidad la que le da el valor agregado a estos sistemas, la colectividad.
La industria del internet ha adoptado este modelo de inteligencia de masas para muchos servicios y en general los resultados han sido exitosos.
¿Qué otras industrias podrían aprovechar esta inteligencia colectiva para potenciar sus alcances?
Para innovar hay que salirse de la caja, pero a veces salirse de la caja no significa re inventar la rueda. A veces hay que mirar al pasado y ‘robarse’ ideas para el futuro.
—————————————————————————
Para Profundizar:
La teoría de la ‘emergencia’ (del verbo emerger) explica como de una serie de individuos con una inteligencia limitada emergen sistemas complejos cuando por medio de una serie de reglas simples comienzan a interactuar. Generando así una inteligencia mayor a la de los individuos.
Es un espectáculo impresionante: cientos o miles de peces, pájaros o insectos moviéndose coordinados a toda velocidad. Nadie lleva el mando, no hay ningún actor intelectual de la coreografía. Son bancos de peces, bandadas de pájaros o enjambres de insectos; grupos que actúan como un colectivo y que son capaces de mostrar un comportamiento que excede con mucho a la capacidad de sus individuos. Aunque puede parecer que la inteligencia grupal es ajena al ser humano, hay experimentos que ya investigan si en su toma de decisiones las personas también se dejan conducir por una dinámica colectiva y si esto también responde a una inteligencia grupal. En cualquier caso, todo apunta a que queda mucho por aprender. No sólo los biólogos sino recientemente los ingenieros y cibernéticos de todo el mundo están tratando de descubrir su secreto. Su idea consiste en traducir el comportamiento de estos conjuntos de animales a las máquinas y formar grupos de robots que puedan actuar con autonomía y controlarse a sí mismos. Así, podrían utilizarse en el futuro en el ámbito de la exploración espacial y la investigación o para las operaciones quirúrgicas.
By jesus - Posted on 19 April 2010
¿Alguna vez se ha tropezado con otro viandante y después se han desviado ambos hacia el mismo lado... Y, ¡ups! otra vez de nuevo los dos al lado contrario? Ya saben: ¡Perdón! ¡Perdón! Y una media sonrisa de disculpa. Pues algo tan anecdótico y aparentemente poco importante está en la base de lo que estudia un grupo de matemáticos y sociólogos del Instituto Tecnológico Suizo, en Zurich, el prestigioso ETH. Pero ellos no se quedan en la anécdota. Al contrario, su trabajo puede acabar siendo muy útil para prevenir desgracias, por ejemplo a la hora de evitar accidentes por aplastamiento en aglomeraciones en estadios, manifestaciones... El grupo de Zurich, liderado por Mehdi Moussaid, ha investigado las peregrinaciones a la Meca, en las que periódicamente se producen decenas de muertos por 'estampidas' o avalanchas humanas.
El punto de partida de estos investigadores es que cuando interaccionan muchos 'agentes individuales', en este caso personas, cada uno se comporta según lo hagan los demás. Y eso genera un comportamiento colectivo determinado, que se puede modelizar. Es un fenómeno que se da en el tráfico por carretera, por supuesto en la economía... y cuando se congrega mucha gente. En los últimos años ha avanzado mucho la rama de las matemáticas que trata de modelizar estos fenómenos.
En el caso del grupo suizo, los investigadores experimentaron primero con individuos en condiciones de laboratorio: dos voluntarios evitan chocarse en un pasillo; ¿hacia qué lado se desvían? Después los matemáticos salieron a la calle y se dedicaron a grabar el flujo de viandantes. Así han descubierto que, en general, todo el mundo tiende a desviarse hacia el mismo lado, y eso hace que en la multitud se generen de forma espontánea 'corrientes' de viandantes que avanzan en el mismo sentido. Esto ha permitido diseñar un modelo matemático que describe los flujos urbanos.
Moussaid explicó hace unos días en la reunión anual de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia en San Diego, en EEUU, que, curiosamente, el lado hacia el que solemos desviarnos parece determinado culturalmente: los europeos lo hacemos hacia la derecha y los asiáticos más bien hacia la izquierda.
Esto podría ser sólo una curiosidad si no fuera porque el comportamiento colectivo puede dar problemas, como las mencionadas 'estampidas'. El trabajo del grupo de Zurich con los peregrinos a la Meca aún no ha acabado, pero el objetivo es identificar patrones en el movimiento de la multitud que precedan a estos fenómenos, para así tratar de detectarlos con antelación y evitarlos.
La Sabiduría de los Grupos: Por qué los muchos son más inteligentes que los pocos y cómo la sabiduría colectiva da forma a los negocios, economía, sociedades y naciones, publicado por primera vez en 2004, es un libro escrito por James Surowiecki sobre la combinación de la información en grupos, que termina en decisiones que, argumenta él, son a menudo mejores que las que podrían haber sido tomadas por un solo miembro del grupo. El libro presenta numerosos casos estudiados y anécdotas para ilustrar su argumento, y recorre varios campos del saber, principalmente economía y psicología.
La anécdota inicial cuenta que en 1906 Sir Francis Galton (reconocido científico inglés de finales del siglo XIX) visitó una feria de pueblo en la que encontró un concurso que llamó su atención.
El concurso consistía en que los participantes (en su mayoría carniceros, ganaderos y pueblerinos) tendrían que escribir en un papel el peso que calculaban tenía un buey expuesto en la feria. Al termino del concurso el buey sería sacrificado, pesado y descuartizado para así entregarle al más acertado los restos del mismo.
Lo sorprendente es que de los 800 participantes de este concurso ninguno acertó el peso exacto de 544 kilos y 500 gramos, es más, el más cercano estuvo lejos por más de 10 kilos. La lógica diría que de entre tantos participantes alguno tendría que por lo menos acercase por un par de kilos ¿no?
Extrañado por el hecho, Sir Francis (que en español sería Don Francisco) le pidió al organizador del concurso si podía quedarse con los papeles donde habían escrito los participantes sus cálculos.
Ya en la lejanía de la feria y en la comodidad de su casa, comenzó a hacer números. Si bien, ningún participante acertó o si quiera se acerco al dato real, el promedio de todos los concursantes fue de: 544 kilos. ¿Cómo es posible que el promedio de 800 participantes estuviera a tan sólo 500 gramos de la respuesta, mientras que el individuo más cercano fallara por 10 kilos?
- La inteligencia de las masas es más certera que la de los individuos -
Nunca una anécdota de 1906 fue tan actual; wikipedia, stumbleupon, delicious, digg, google, yelp, basan su inteligencia en este modelo. Las masas generan la inteligencia, no los individuos. Es la comunidad la que le da el valor agregado a estos sistemas, la colectividad.
La industria del internet ha adoptado este modelo de inteligencia de masas para muchos servicios y en general los resultados han sido exitosos.
¿Qué otras industrias podrían aprovechar esta inteligencia colectiva para potenciar sus alcances?
Para innovar hay que salirse de la caja, pero a veces salirse de la caja no significa re inventar la rueda. A veces hay que mirar al pasado y ‘robarse’ ideas para el futuro.
—————————————————————————
Para Profundizar:
La teoría de la ‘emergencia’ (del verbo emerger) explica como de una serie de individuos con una inteligencia limitada emergen sistemas complejos cuando por medio de una serie de reglas simples comienzan a interactuar. Generando así una inteligencia mayor a la de los individuos.
Es un espectáculo impresionante: cientos o miles de peces, pájaros o insectos moviéndose coordinados a toda velocidad. Nadie lleva el mando, no hay ningún actor intelectual de la coreografía. Son bancos de peces, bandadas de pájaros o enjambres de insectos; grupos que actúan como un colectivo y que son capaces de mostrar un comportamiento que excede con mucho a la capacidad de sus individuos. Aunque puede parecer que la inteligencia grupal es ajena al ser humano, hay experimentos que ya investigan si en su toma de decisiones las personas también se dejan conducir por una dinámica colectiva y si esto también responde a una inteligencia grupal. En cualquier caso, todo apunta a que queda mucho por aprender. No sólo los biólogos sino recientemente los ingenieros y cibernéticos de todo el mundo están tratando de descubrir su secreto. Su idea consiste en traducir el comportamiento de estos conjuntos de animales a las máquinas y formar grupos de robots que puedan actuar con autonomía y controlarse a sí mismos. Así, podrían utilizarse en el futuro en el ámbito de la exploración espacial y la investigación o para las operaciones quirúrgicas.
22 de abril de 2011
18 de abril de 2011
14 de abril de 2011
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Os Números
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30 de marzo de 2011
23 de marzo de 2011
<script type="text/javascript" src="/matematicas/plugins/system/cdscriptegrator/libraries/jquery/js/jquery-1.4.2.min.js">script> <script type="text/javascript" src="/matematicas/plugins/system/cdscriptegrator/libraries/jquery/js/jquery-noconflict.js">script> <script type="text/javascript" src="/matematicas/plugins/system/cdscriptegrator/libraries/jquery/js/ui/jquery-ui-1.8.2.custom.min.js">script> <script type="text/javascript" src="/matematicas/media/system/js/mootools.js">script>
22 de marzo de 2011
15 de marzo de 2011
Las matemáticas nos ayudan a descubrir la lógica
que subyace
al mundo tan complejo y caótico en el que vivimos.
Marcus du Sautoy
- Los números y sus leyes conviven con
todos nosotros: el año actual, 2011, es un número primo, solo divisible
por 1 y por sí mismo; y es más: 2011 puede obtenerse sumando 11 números
primos consecutivos... - Hay números recurrentes en la
naturaleza, que se esconden detrás de bellas formas simétricas,
reveladoras de fuerza y eficacia a la hora de sobrevivir. - Con el matemático, escritor y presentador inglés Marcus du Sautoy, Redes se acerca a los misterios de los números para descubrir su belleza y su magia.
Eduard Punset:
He
leído tu maravilloso libro sobre simetría, Marcus, y me encantaría que
los teleespectadores sintieran lo mismo que sentí yo durante las
primeras páginas, en las que evocabas o recordabas tu infancia, cuando
alguien, creo que fue un profesor, te contó algo sobre las matemáticas…
te dijo que necesitabas saber de qué tratan en realidad las matemáticas
¿no? Gracias a él descubriste un libro con algunos números que luego
resultó que eran los de la sucesión de Fibonacci, ¿verdad?
En este artículo vemos como desde acciones sencillas como la patada a un balón y rellenar un sudoku, hasta la predicción del clima, detección de tumores, y entender la manera como se mueve la información de internet a través de paquetes son explicados en un lenguaje sencillo, tarea que desde hace unos años viene llevando a cabo el programa Momentos Matemáticos promoviendo asi la apreciación y el entendimiento del papel que juegan las matemáticas en la ciencia, la tecnología, la naturaleza y la cultura humana.14 de marzo de 2011
7 de marzo de 2011
6 de marzo de 2011
5 de marzo de 2011
2 de marzo de 2011
1 de marzo de 2011
Las matemáticas nos ayudan a descubrir la lógica
que subyace al mundo tan complejo y caótico en el que vivimos.
Marcus du Sauto
Los números y sus leyes conviven con todos nosotros: el año actual, 2011, es un número primo, solo divisible por 1 y por sí mismo; y es más: 2011 puede obtenerse sumando 11 números primos consecutivos...
Hay números recurrentes en la naturaleza, que se esconden detrás de bellas formas simétricas, reveladoras de fuerza y eficacia a la hora de sobrevivir.
Con el matemático, escritor y presentador inglés Marcus du Sautoy, Redes se acerca a los misterios de los números para descubrir su belleza y su magia.
Hay números recurrentes en la naturaleza, que se esconden detrás de bellas formas simétricas, reveladoras de fuerza y eficacia a la hora de sobrevivir.
Con el matemático, escritor y presentador inglés Marcus du Sautoy, Redes se acerca a los misterios de los números para descubrir su belleza y su magia.
28 de febrero de 2011
27 de febrero de 2011
24 de febrero de 2011
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